无符号数和有符号数

无符号数

无符号数比较简单，寄存器的位数直接反映了无符号数的表示范围。实际上，有 C 语言基础的话，这是不言而喻的，就不再赘述了。

可能会有人有疑问：为什么没有无符号小数？
就笔者的个人理解而言，一是因为没有必要去专门使用无符号小数，二是因为小数在计算机中的表示本身就很麻烦了，在加上无符号号小数就更麻烦了。当然，具体的原因只能去问当初发明计算机的那帮老头子了。

有符号数

有符号数就比较复杂了，分为整数和小数，下面要介绍的各种表示法都是从这两个方面展开的。

机器数与真值

首先要明确的两个概念是：机器数与真值。
所谓机器数，简单理解就是计算机内存储的数，这个数跟现实中的数是存在差异的；而这里的真值不是true和false，只是现实中的有大小和正负的数，它可以是十进制的也可以是二进制的。

以下数学定义部分，$x$ 都为真值，$n$ 为整数或小数的位数。

原码表示法

包含两个部分：整数和小数。

整数

首先是定义：
$$
[x]_原 =
\begin{cases}
0,x & 2^n > x \geqslant 0 \\
2^n-x & 0 \geqslant x > -2^n \\
\end{cases}$$

比如：$x = +1110$，$[x]_原 = 0,1110$；$x = -1110$，$[x]_原 = 2^4 + 1110 = 1,1110$。实际上，$2^4$其实就是$10000$，写成指数形式更贴近定义中的公式，可千万别以为是新东西。

注意：上述默认机器字长是 5 位（后面的内容也都默认机器字长在合理范围内），逗号用来隔开符号位和数值部分。

小数

定义：
$$
[x]_原 =
\begin{cases}
x & 1 > x \geqslant 0 \\
1-x & 0 \geqslant x > -1 \\
\end{cases}$$

比如：$x = +0.1101$，$[x]_原 = 0.1101$；$x = -0.1101$，$[x]_原 = 1 - (-0.1101) = 1.1101$。

与上述一样，机器字长默认为 5 位，小数点用来隔开符号位和数值部分。

最后，还要把特殊的 0 单独拿出来讨论下，按照原码小数的定义，有：
+0：$x = +0.0000，[+0.0000]_原 = 0.0000$
-0：$x = -0.0000，[-0.0000]_原 = 1.0000$
同理，对于整数，就有：
+0：$[+0]_原 = 0,0000$
-0：$[-0]_原 = 1,0000$
综上，+0和-0的原码不同。

补码表示法

补码的概念有点类似于模运算中的补数，不复杂，但是日常生活中用的不多。

整数

定义：
$$
[x]_补 =
\begin{cases}
0,x & 2^n > x \geqslant 0 \\
2^{n+1}+x & 0 > x \geqslant -2^n (mod\ 2^{n+1})\\
\end{cases}$$

比如：$x = +1010$，$[x]_补 = 0,1010$；$x = -1011000$，$[x]_补 = 2^{7+1} + (-1011000) = 1,0101000$。

小数

定义：
$$
[x]_补 =
\begin{cases}
x & 1 > x \geqslant 0 \\
2+x & 0 > x \geqslant -1 (mod\ 2)\\
\end{cases}$$

比如：$x = +0.1110$，$[x]_补 = 0.1110$；$x = -0.1100000$，$[x]_补 = 2 + (-0.1100000) = 1.0100000$。

实际上，关于补码有一些规律：

正数的补码就是其本身
负数的补码可用其原码除符号位，每位取反，末位加 1 求得

同样，补码也存在 0 这个特殊情况，按照补码小数的定义：
+0：$x = +0.0000，[+0.0000]_补 = 0.0000$
-0：$x = -0.0000，[-0.0000]_补 = 1.0000$
同理，对于整数，就有：
+0：$[+0]_补 = 0,0000$
-0：$[-0]_补 = 1,0000$
综上，+0和-0的补码相同。

反码表示法

整数

定义：
$$
[x]_反 =
\begin{cases}
0,x & 2^n > x \geqslant 0 \\
(2^{n+1}-1)+x & 0 > x \geqslant -2^n (mod\ 2^{n+1}-1)\\
\end{cases}$$

比如：$x = +1101$，$[x]_反 = 0,1101$；$x = -1101$，$[x]_反 = (2^{4+1}-1) - 1101 = 1,0010$。

小数

定义：
$$
[x]_反 =
\begin{cases}
x & 1 > x \geqslant 0 \\
(2-2^{-n})+x & 0 \geqslant x > -1 (mod\ 2-2^{-n})\\
\end{cases}$$

比如：$x = +0.1101$，$[x]_反 = 0.1101$；$x = -0.1010$，$[x]_反 = (2-2^{-4} - 0.1010) = 1.0101$。

同样，反码也存在 0 这个特殊情况，按照反码小数的定义：
+0：$x = +0.0000，[+0.0000]_补 = 0.0000$
-0：$x = -0.0000，[-0.0000]_补 = 1.1111$
同理，对于整数，就有：
+0：$[+0]_补 = 0,0000$
-0：$[-0]_补 = 1,1111$
综上，+0和-0的反码不同。

小结

总结一下三种机器数的规律：

对于正数，原码 = 补码 = 反码
对于负数，符号位为 1，其原码除符号位外每位取反，末位加 1 可得补码；其原码除符号位每位取反，可得反码

移码表示法

补码无法直接判断两个符号不同的整数的大小关系，由此产生的就是移码。
移码定义：
$$
[x]_移 =
\begin{cases}
2^n+x & 2^n > x \geqslant -2^n \\
\end{cases}$$

比如：$x = 10100$，$[x]_移 = 2^5 + 10100 = 1,10100$；$x = -10100$，$[x]_移 = 2^5 - 10100 = 0,01100$。
实际上，移码与补码只差了一个符号位：正数的移码的符号位为 1，负数的移码的符号位为 0。最小真值的移码为全 0，同时+0和-0的移码也是相等的（与补码一致）。移码的用途就是用来表示浮点数的阶码，这样可以很方便的判断浮点数阶码大小。